Ya se estudió el caso de la distancia al horizonte y de cuántos km éramos capaces de ver en un día despejado (concretamente el día 16/11/2010, en el tema titulado "Distancia al horizonte"). Se trataba de un cálculo sencillo a la par que sorprendente, ya que a priori parece que el horizonte estuviera más lejos de lo que está (a unos 4 km de distancia para una persona situada a pie de mar). Hoy nos ocuparemos del cálculo de la superficie de la bóveda celeste, es decir, cuántos kilómetros cuadrados somos capaces de observar en un día despejado).
Uno estaría tentado a realizar el cálculo del área del círculo y establecer que pi multiplicado por el cuadrado del radio de visión máxima (el horizonte). Así quedaría que somos capaces de visualizar, en un instante concreto, alrededor de 60 km2. Deberíamos intuir que el cálculo es bien distinto, como se verá en el razonamiento siguiente.
En primer lugar hay que establecer qué queremos decir con bóveda o esfera celeste. La visión celestial de los terrícolas es distinta, dependiendo de la época del año. Así, sabemos que en distintas épocas del año visualizamos estrellas distintas y por tanto superficies celestes distintas. Esto, lógicamente, no es lo que se trata de calcular, sino el espacio visible en un instante concreto.
Por otro lado, para ser puristas, deberíamos considerar que este espacio es infinito, o al menos, incalculable. Esto es así porque realmente el firmamento es la palabra con la que designamos a millones de estrellas que están situadas en el espacio aleatoriamente, aunque a nosotros nos parezcan situadas en una misma superficie (lo que los antiguos llamaban estrellas fijas o firmamento). Por tanto, deberíamos considerar que no vamos a calcular el área visible en el firmamento, sino el área de la superficie de proyección de los elementos del firmamento, de tal manera que sus proyecciones estarían en la misma superficie esférica.
Establecidos estos límites, el siguiente paso es establecer cuál es la distancia de esa superficie de proyección. Esa distancia podría ser tan grande como quisiéramos y de hecho, para un día despejado, podríamos incluso tomar como superficie de proyección la distancia al sol, ya que es un elemento claramente visible. Con esto quiero indicar que no es un asunto fácil, puesto que el tamaño de la bóveda celeste depende exclusivamente de la distancia de la superficie terrestre al cielo.
¿Qué distancia, por consiguiente, es la más conveniente para definir lo que es el cielo? Algunos podrían pensar que el grosor de la capa atmosférica debería ser esta distancia (unos 1000 km). Sin embargo esto nos llevaría a la siguiente dificultad: si lo que vamos a llamar cielo está situado a 1000 km de distancia, ¿qué supone esta definición para el tamaño relativo de un pájaro o una nube? No sabemos, e incluso quizá no nos importa saber el tamaño de una estrella. Desde lejos nos parecen todas iguales, salvo por el brillo. Sin embargo no parece muy coherente decir que un pájaro mide decenas de km porque su proyección en el cielo así lo muestra. Sin ir tan lejos, resultaría que nubes que cubren pequeñas partes de una región tendrían un tamaño en proyección de países enteros. En conclusión, se trata de tamaños y de números muy grandes que dificultan el cálculo.
Todo esto nos lleva a replantear nuestra concepción del cielo. Al igual que ocurre con las estrellas, de las cuales no nos interesa el tamaño en este caso, debemos encontrar un objeto lo suficientemente representativo (es decir, alto y grande) que nos permita definir dónde se encuentra el cielo. Descartadas las estrellas, como dijimos, tenemos como candidatos al sol, a la luna, a las montañas y a las nubes. Deberíamos descartar a los dos primeros por los tamaños dispares de los objetos que serían representados (por ejemplo pájaros y aviones). Sin embargo, las cimas de las montañas y la altura de las nubes proporcionan una mejor solución. Así, en dicha proyección a 10 km de altura, aviones, nubes y montañas muestran prácticamente su tamaño original, mientras que un pájaro que volara a 10 m de altura tendría un tamaño relativo equivalente a decenas o cientos de metros, que en cierta manera no representa una dificultad de cálculo o de percepción (es decir, un pájaro volando no supone, a menos que lo tengamos encima de los ojos, más que una mancha en el amplio cielo). De la misma manera, al tomar esta referencia, tenemos la ventaja de que una nube no tiene un tamaño definido, por lo que podemos realmente obviar este dato a la hora de calcular y centrarnos en los objetos que realmente requieren representación.
Dicho esto, diremos que el cielo está situado aproximadamente a 10 km de altura, y que esta altura nos puede servir a efectos científicos como buena aproximación para realizar cualquier medida. El siguiente gráfico representa la superficie terrestre y celeste y las líneas que intevienen.
Sea AB la altura desde la que se mira el horizonte. Aunque el horizonte geográfico está situado en la tangente (punto C) a la tierra, el horizonte celeste está situado algo más alejado (en D). Esa distancia se puede calcular y es función de la altura AB.
La distancia al horizonte BC viene dada por la expresión Horizonte (BC) = (2·OC·AC)^(1/2). Por tanto, la distancia, para un individuo de 1,7 m, es 4,6 km. La distancia CD se calcula fácilmente por el Teorema de Pitágoras. Si R1=6300 y R2=6310, la distancia CD es 355 km. La suma de las 2 es 360 km aproximadamente. Este dato concuerda a la perfección con la fórmula del horizonte, ya que para alguien situado a 10 km de altura, el horizonte se encuentra a 355 km.
Por último, conocida la distancia total, nos disponemos a calcular la superficie de la bóveda. Nuevamente nos vemos tentados a usar la fórmula del área del círculo. Así, ahora tendríamos unos 407 mil km cuadrados, el equivalente a un país más grande que Alemania. Sin embargo, al tratarse de un casquete esférico de un tamaño DE, seguimos la fórmula del área del casquete esférico que es pi x (a^2+h^2), donde h , a y r (radio) están representados en la figura
Ahora, sabiendo que r=6310 km, podemos conocer fácilmente cuánto vale h y cuánto vale a. No entraré aquí en la demostración, pero haciendo uso de la trigonometría, se puede decir que sabiendo la distancia del centro de la Tierra al observador (6310,0017 km), la distancia r y la distancia del horizonte (360 km), podemos decir que a=359 km y h=19 km (aproximadamente).
El área total que podemos observar será por tanto unos 40 mil km2, algo menos que lo que nos daba el cálculo mediante el área del círculo.
Así pues, de nuestro primer cálculo de 60 km2 hemos pasado a más de 400 mil km2.
De estes cálculo podemos sacar varias conclusiones:
1. Lo grande que pueden llegar a ser las nubes (de hecho todos ya sabíamos antes de este cálculo que pueden llegar a cubrir los cielos de países enteros).
2. A medida que nos acercamos al "cielo" nuestra panorámica del mismo es mayor.
3. El "cielo", visto desde el espacio (más allá de los 10 km) coincidiría con la visión del horizonte tomando como referencia el radio de la tierra más 10 km.
4. A pesar de que podemos ver un espacio similar a 4/5 de la superficie de España, no toda la superficie se ve de la misma manera. Nuestra visión es cónica y tratamos de ver con ella una esfera. Por tanto esa esfera se proyecta en el plano de la base de nuestro cono de visión. Esto significa que si bien el centro de la superficie (lo que se denomina cenit) y alrededores están aproximadamente en verdadera magnitud, cuando más nos acercamos al horizonte los objetos estarían más cercanos entre sí. Es lo mismo que ocurre con las estrellas: en términos relativos todas se hallan en el infinito, ya que las distancias tan largas son tomadas por nuestro ojo como idénticas, aunque haya entre las mismas años luz de diferencia. Así que sólo un porcentaje de nuestro campo de visión sería nítido y podríamos denominarlo "claramente visible".
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