El método infinitesimal

El cálculo infinitesimal, descubierto por Leibniz y Newton de manera totalmente independiente, es una rama apasionante de las matemáticas. Básicamente consiste en calcular cómo de rápido o lento se incrementan los valores de las variables de un proceso, ya sea físico o matemático. De esta manera, es posible calcular de manera exacta la velocidad o la aceleración de un cuerpo en movimiento. También nos permite conocer el área de figuras complicadas, asumiendo que las partes más complicadas siempre pueden aproximarse a infinitas pequeñas figuras de áreas sencillas (habitualmente triángulos) de dimensiones no mayor que un punto. El cálculo infinitesimal engloba por tanto, al cálculo de derivadas y el cálculo de integrales.

Desde un punto de vista matemático, el incremento infinitesimal de una variable puede asumirse en la mayoría de los casos como un no incremento. Así el número 3,333333333333333 (periódico puro) existe, pero el número 9,999999999999999 no existe propiamente, sino que es el número 10. En un contexto físico, por ejemplo, un incremento de un átomo de carbono en un trozo de grafito no variaría en absoluto su masa, a pesar de que hay un átomo más. Los aparatos de medición y sus errores de medida contribuyen además a esta idea.

Esto no dejaría de ser meramente anecdótico si no fuera porque si bien un infinitésimo, como su nombre indica, es infinitamente pequeño y por tanto prácticamente no existe, muchos infinitésimos pueden significar, en conjunto, un número grande. En esto se basan las leyes del cálculo integral.

Algo así ocurre en la sociedad moderna. Al igual que la teoría de la relatividad, el cálculo infinitesimal está incrustado en la sociedad. Aunque pueda pasar desapercibido o no podamos descubrirlo así de primeras, lo podemos identificar como la ley del "si no pasa nada".

Digamos que un alumno es valorado con una calificación del 0 al 1000, siendo el 500 el valor límite por el cual el individuo supera su examen. Más o menos, de nuestra etapa educativa, sabemos que alguna vez el profesor podía aprobar al alumno si su calificación era muy cercana. Por supuesto, un 300 o un 150 nunca sería un aprobado, ¿pero un 490? Veamos la situación.

¿Es 499 un aprobado? Técnicamente no, porque el límite es 500. Pero si consideramos que 1 es un infinitésimo (echándole mucha imaginación) de 1000, podríamos considerarlo así. De hecho, 2 de cada 3 profesores darían por aprobado al alumno. ¿Y 498?¿Y 497? Incluso calificaciones menores pueden ser toleradas. ¿475? Bueno, entran ya ciertas dudas, pero... es probable que el profesor lo admita. ¿Y un 450? Bueno, cada vez estamos exprimiendo más la situación.

Llegados a un punto, nos encontramos que incluso muchos profesores aprueban con un 400 o incluso un 300 cuando hay 2 o más calificaciones, haciendo una compensación entre calificaciones de tal manera que todas supongan una nota final superior al 500. Es decir, no importa que el alumno no sepa la materia del examen si en el resto de materias es buen estudiante.

Algo parecido ocurre en la sociedad moderna. Todo a nuestro alrededor es susceptible del método infinitesimal. Un ejemplo claro:

Desde el inicio de la humanidad, el matrimonio es una forma fundamental para la creación de la unidad familiar. Supongamos la sociedad occidental en la Edad Media. Una unión conyugal extramatrimonial suponía incluso la muerte en algunos casos. O bien estaba uno casado o bien no había sexo (y si lo había, el riesgo de castigo severo era muy elevado). Entonces a alguien se le ocurrió que por qué no intentar un matrimonio civil, en el cual pudiera divorciarse la pareja y formar una nueva. Bien pensado, no se estaba contrariando en demasía la regla. Del matrimonio civil se pasó a la "pareja", de la "pareja" a la pareja/matrimonio interracial, de éste al soltero con varias parejas y de éste al matrimonio homosexual. Entendamos que en todo momento se ha insinuado que no hay mucha diferencia entre cada paso. Digamos que era un poquito más de libertad o de "opción".

Entonces a alguno se le enciende la luz matemática. Oiga, es cierto, podíamos decir que pasando de infinitésimo en infinitésimo no llegamos a notar la diferencia pero si lo comparamos con el primer tipo de matrimonio, ¡caray si hay diferencia! Es lo que se llama Paradoja de Zenón. Mientras que él no admitía movimiento, ya que al pasar de un punto a otro hay que pasar infinitos infinitésimos, la realidad es que una vez que ha recorrido esos infinitos infinitésimos (en un tiempo finito) se ha movido una gran cantidad de espacio.

Para quien se le escape, los próximos pasos, nos gusten o no, serán el matrimonio con y entre menores de edad (niños de mayores de 12 años),  entre miembros de distintas especies animales (perros y personas por ejemplo) y ya por último matrimonios entre adultos y niños menores de 12 años. Esto no es fantasía. Quizá para nuestras mentes poco abiertas esto sea así en estos momentos pero será así(y digo esto con conocimiento de causa porque hasta los más liberales de hace hace 50 años, hoy serían considerados unos carcas).

¡Si no pasa nada! Y es cierto. Hasta que pasa. Una de las pruebas más interesantes que puede hacerse con una probeta de metal es la prueba de fatiga (es decir, cuanto aguanta el metal ante esfuerzos repetitivos en determinada dirección). Una prueba de andar por casa es intentar romper un alambre de acero. Todos sabemos que flexionándolo repetidamente en una u otra dirección empieza a crearse un pequeño estrechamiento hasta que se rompe. O también girándolo sobre sí mismo en muchas ocasiones. Pero lo cierto es que si un alambre aguanta 100 kg y ponemos 101 kg, probablemente no ocurra nada. Ni con 102, pero quizá sí con 102,5 kg.

Igual ocurre con la sociedad. Somos muy poco conscientes de que incrementos, aunque sean infinitesimales pueden provocar graves situaciones incontrolables. Sean razonables, ¿realmente nos afecta que nos incrementen el precio de los combustibles? Si un litro de gasolina cuesta 1$, por ejemplo, ¿qué nos dañará si está a 1,01 $. ¿Y a 1,05? ¿Y a 2? ¿Y a 10 $ el litro? No, no y no. No nos afectaría realmente. Nos amoldaríamos a la nueva situación. Pero quizá el gobernante de turno no entienda que llegados a 10,01 $ el populacho estalle y sea la ruina suya y del país.

Cuidado con los infinitésimos. Son pequeños, pero traicioneros.