Hoy vamos a conocer diferentes métodos de abordar un mismo problema: como ubicar correctamente nuestra posición física. Si bien hoy disponemos de sistemas más que reconocidos por su efectividad, como el caso del GPS, no está de más tratar de entender qué significan estos números y sobre todo por qué son estos números y no otro.
La ubicación de nuestra posición siempre se realiza de una manera parecida: necesitamos una referencia (en física se le conoce como sistema de referencia). Usted, mi estimado lector, se encuentra delante de su ordenador en su habitación o despacho. Quizá incluso esté en la calle o el autobús con su tableta o teléfono inteligente. En cualquier caso, ¿dónde se encuentra usted realmente? Si está en su despacho me dirá: a 3 m de la puerta o en la esquina de mi habitación. Si está en la calle, me dirá que está en los jardines de la Quinta Avenida en Nueva York. En definitiva, usted está en todo momento referenciando su posición a un sistema de referencia.
Lo más importante de un sistema de referencia es conocer dónde se ubica su origen. Por lo general, este origen es un punto del espacio (aunque en ocasiones puede ser una superficie o una curva). Este punto se conoce como origen del sistema de referencia y por lo general tiene valor 0. La importancia del origen del sistema es más bien formal que otra cosa. De hecho, nuestros ojos pueden bien ser sistemas de referencia de nuestro mundo. Así, si nos preguntaran que dónde estamos, podríamos decirles sin miedo a equivocarnos que estamos en nosotros mismos. De todas maneras, al haber múltiples puntos de vista, el origen del sistema de referencia trata de armonizar las distintas visiones a través de un sistema de referencia absoluto, es decir, un sistema que todos admitan como sistema de referencia fundamental (por ejemplo, la esquina de un aula en un colegio).
Si algo interesante dijeron Newton y Galileo fue que no existen sistemas de referencia absolutos, sino que todos pueden ser relativos y lo que es mejor, que para nada es importante disponer de este sistema absoluto, sino que todos están referenciados entre sí por medios de coordenadas. Así, si estamos en una carretera entre dos ciudades, A y B, que distan 10 km, nos da igual decir que estamos a 3 km de A que decir que estamos a 7 km de B. Lo interesante es entender que gracias a esta versatilidad de coordenadas, podemos a veces resolver problemas que de otra manera serían imposibles de resolver por otros medios.
Así, disponemos de varios tipos de coordenadas. Para reflejar nuestra posición en el mapa, usaremos las coordenadas geográficas (dentro de estas, a su vez, hay muchos tipos, como son las coordenadas de latitud-longitud o las coordenadas UTM). Lo más interesante en estos momentos es conocer de dónde surgen estas coordenadas geográficas: de las coordenadas matemáticas.
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas se basan en la concepción del espacio como un ente de tres dimensiones: altura (z), anchura (y) y longitud (x). Son útiles en lo que se denominan espacios euclídeos, es decir, espacios rectilíneos y planos, tales como son habitaciones, suelos, techos, etc. Son las coordenadas más intuitivas y prácticas, por el hecho determinante de que el papel es plano y por tanto se puede definir en la superficie del mismo dando dos datos (es el famoso juego de la guerra naval). Aplicado al espacio, tres datos. Son las coordenadas habituales en arquitectura debido a la existencia de planos.
Las coordenadas cartesianas permiten calcular las más simples nociones de movimiento, como es el movimiento rectilíneo, al mismo tiempo que permiten definir sistemas de referencia absolutos o ubicar los sistemas de referencia relativos fácilmente respecto de un sistema de referencia absoluto. Los sistemas de referencia cartesianos permiten calcular de manera rápida y práctica casi todas las figuras geométricas básicas, así como sus áreas y los volúmenes de figuras poliédricas (en general, cualquier figura o cuerpo geométrico es fácilmente definido en estas coordenadas).
Así, en la figura, el punto (xa, ya, za) está situado en la diagonal opuesta del vértice del ortoedro de medidas xa de largo, ya de ancho, za de alto situado en el origen de coordenadas. De esta forma, realizando ortoedros siempre con un vértice de la base en el origen de coordenadas, siempre se puede definir cualquier punto del espacio.
La principal ventaja y característica de este sistema es que sus tres coordenadas tienen tienen unidades longitudinales (a diferencia de otros sistemas de coordenadas, que tienen unidades longitudinales y angulares). De esta manera, es casi inmediato el cálculo de áreas o volúmenes, al multiplicarse entre sí estas cantidades o múltiplos de las mismas.
Coordenadas cilíndricas
La coordenada radial de un punto se interpreta como su distancia al eje Z, mientras que Z de interpreta como la distancia del punto al plano XY, o lo que es lo mismo, la altura, entendiendo que XYZ son los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas. El tercer parámetro, la coordenada angular, indica la posición o ángulo que tiene el radio o distancia al eje Z.
Las coordenadas cilíndricas pueden ayudar a resolver de manera mucho más fácil cálculos relacionados con áreas o longitudes circulares, de manera que simplifiquen funciones muy complejas en coordenadas cartesianas.
Coordenadas esféricas:
Las coordenadas esféricas representan el caso más radical de diferenciamiento con las coordenadas cartesianas. De la misma manera, su posición es función de tres parámetros, pero exclusivamente uno es longitudinal. Los otros dos parámetros son coordenadas angulares.
La ventaja de estas coordenadas están en que la posición queda definida por una distancia respecto al origen de coordenadas, que es el centro de una esfera de radio r. Todos los puntos a igual radio r, tienen idénticas propiedades esféricas. La posición exacta, que la referencia con las coordenadas cartesianas vendrá dada por los ángulos fi y theta, el primero de los cuales es equivalente a la coordenada angular cilíndrica (llamada coordenada azimutal) y el segundo se refiere a la denominada altura o altitud, que oscila exclusivamente entre 0 y 180º (a diferencia del azimut, que es de 0 a 360º.
Problemas o geometrías esféricas son fáciles de resolver por estas coordenadas.
Por último, cabe pensar que el resto de coordenadas, incluidas las geográficas, no son más que métodos derivados de las coordenadas anteriormente vistas. En particular, el sistema geográfico derivado de la latitud y la longitud deriva directamente del sistema esférico, con la particularidad de que no requiere más que dos coordenadas (curiosamente las dos coordenadas angulares). La tercera coordenada es innecesaria, ya que la Tierra es esférica y por tanto tiene un radio constante (a pesar de que realmente existen diferentes alturas en el planeta, pero éstas, con respecto al radio medio, que mide 6370 km, no representa más del 0,1% del mismo)
Así, disponemos de varios tipos de coordenadas. Para reflejar nuestra posición en el mapa, usaremos las coordenadas geográficas (dentro de estas, a su vez, hay muchos tipos, como son las coordenadas de latitud-longitud o las coordenadas UTM). Lo más interesante en estos momentos es conocer de dónde surgen estas coordenadas geográficas: de las coordenadas matemáticas.
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas se basan en la concepción del espacio como un ente de tres dimensiones: altura (z), anchura (y) y longitud (x). Son útiles en lo que se denominan espacios euclídeos, es decir, espacios rectilíneos y planos, tales como son habitaciones, suelos, techos, etc. Son las coordenadas más intuitivas y prácticas, por el hecho determinante de que el papel es plano y por tanto se puede definir en la superficie del mismo dando dos datos (es el famoso juego de la guerra naval). Aplicado al espacio, tres datos. Son las coordenadas habituales en arquitectura debido a la existencia de planos.
Las coordenadas cartesianas permiten calcular las más simples nociones de movimiento, como es el movimiento rectilíneo, al mismo tiempo que permiten definir sistemas de referencia absolutos o ubicar los sistemas de referencia relativos fácilmente respecto de un sistema de referencia absoluto. Los sistemas de referencia cartesianos permiten calcular de manera rápida y práctica casi todas las figuras geométricas básicas, así como sus áreas y los volúmenes de figuras poliédricas (en general, cualquier figura o cuerpo geométrico es fácilmente definido en estas coordenadas).
Así, en la figura, el punto (xa, ya, za) está situado en la diagonal opuesta del vértice del ortoedro de medidas xa de largo, ya de ancho, za de alto situado en el origen de coordenadas. De esta forma, realizando ortoedros siempre con un vértice de la base en el origen de coordenadas, siempre se puede definir cualquier punto del espacio.
La principal ventaja y característica de este sistema es que sus tres coordenadas tienen tienen unidades longitudinales (a diferencia de otros sistemas de coordenadas, que tienen unidades longitudinales y angulares). De esta manera, es casi inmediato el cálculo de áreas o volúmenes, al multiplicarse entre sí estas cantidades o múltiplos de las mismas.
Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas (también llamadas polares cuando se refieren a espacios de dos dimensiones, es decir, al cilindro de altura 0), constan también de tres coordenadas, dos coordenadas longitudinales (ρ, o coordenada radial, y z, la altura) y una coordenada angular (φ).
La coordenada radial de un punto se interpreta como su distancia al eje Z, mientras que Z de interpreta como la distancia del punto al plano XY, o lo que es lo mismo, la altura, entendiendo que XYZ son los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas. El tercer parámetro, la coordenada angular, indica la posición o ángulo que tiene el radio o distancia al eje Z.
Las coordenadas cilíndricas pueden ayudar a resolver de manera mucho más fácil cálculos relacionados con áreas o longitudes circulares, de manera que simplifiquen funciones muy complejas en coordenadas cartesianas.
Coordenadas esféricas:
Las coordenadas esféricas representan el caso más radical de diferenciamiento con las coordenadas cartesianas. De la misma manera, su posición es función de tres parámetros, pero exclusivamente uno es longitudinal. Los otros dos parámetros son coordenadas angulares.
Problemas o geometrías esféricas son fáciles de resolver por estas coordenadas.
Por último, cabe pensar que el resto de coordenadas, incluidas las geográficas, no son más que métodos derivados de las coordenadas anteriormente vistas. En particular, el sistema geográfico derivado de la latitud y la longitud deriva directamente del sistema esférico, con la particularidad de que no requiere más que dos coordenadas (curiosamente las dos coordenadas angulares). La tercera coordenada es innecesaria, ya que la Tierra es esférica y por tanto tiene un radio constante (a pesar de que realmente existen diferentes alturas en el planeta, pero éstas, con respecto al radio medio, que mide 6370 km, no representa más del 0,1% del mismo)
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