Recientemente leí que tras el penalti fallado por Sergio Ramos en la Champions League, durante el enfrentamiento en semifinales del Real Madrid con el Bayern München, un profesor de física bastante socarrón ha puesto el siguiente problema en el examen de cierta universidad española:
"Sergio Ramos, presa del pánico por la responsabilidad que tenía en sus botas, calcula mal los parámetros de un penalty y el balón, de masa m, es lanzado formando un ángulo Pi / 4 con la vertical y con una velocidad igual a la mitad de la velocidad de escape. El balón nunca llegó a la portería contraria. Suponiendo conocido el radio y la masa de la Tierra, Rt y M respectivamente, y despreciando la rotación de la Tierra y el rozamiento del aire:
b) Si la estación espacial internacional describe una órbita circular de radio de 3Rt, ¿deben sus ocupantes temer un posible impacto del balón?
Los alumnos posiblemente quedaran estupefactos con la pregunta. Una minoría lo encontraría bastante gracioso y curioso. Imaginemos a estos pupilos esbozando una sonrisita. Sin embargo, para la gran mayoría todo quedó en lo de siempre: "un gran vacío en su cabeza".
Como en el Ateneo estimamos ante todo el conocimiento y pretendemos despejar dudas, aquí va la solución al problema y de paso ayudaremos a todos aquellos que no pudieron superar la prueba para que puedar pasarla en la próxima ocasión.
El problema se encuadra dentro de los problemas clásicos de mecánica. En principio, el problema tiene una fácil solución, ya que se basa en el principio de conservación de la energía.
E potencial inicial + energía cinética inicial = E potencial final + E cinética final
Todos sabemos que al lanzar un objeto al aire, este vuelve nuevamente a nosotros por efecto de la gravedad. Si lo lanzamos con más velocidad, más alto llega. Llegaría un momento, por tanto, que lanzáramos con tanta velocidad que llegara a salir de la Tierra, como ocurre con un cohete. Por tanto, habríamos llegado a la velocidad de escape (a la que llamaremos V0.
V0 tiene el siguiente valor:
E potencial inicial + energía cinética inicial = E potencial final + E cinética final
-G·M·m/Rt + 1/2·m·V0^2 = 0
V0 = (2·G·M/Rt)^(1/2)
Para los curiosos, el valor real de esta velocidad es alrededor de 11 000 m/s (unos 40 000 km/h). El problema nos dice que la velocidad inicial es V0/2. Por otro lado, pi/4 (radianes) corresponde a un ángulo de 45º. Como no hay rozamientos ni se tiene en cuenta el movimiento de la Tierra, la primera pregunta sobre las constantes del movimiento del balón queda resuelta por las ecuaciones clásicas del movimiento parabólico. Es decir, suponiendo que el balón hace todo el movimiento en el mismo plano, sin efectos,todo se reduce a calcular la posición x e y, siendo x el movimiento horizontal e y el vertical. En este tipo de movimientos, la velocidad se descompone en dos vectores V0x y V0y. V0x permanece constante, ya que no hay rozamientos ni otras fuerzas. V0y, sin embargo, se ve afectada por la gravedad. Por tanto:
Vx = V0x = V0/2 · cos (pi/4) = V0/4· (2)^(1/2).............. es decir, raíz cuadrada de 2 · V0/4
Vy = V0 y - g·t = V0/2·sen (pi/4) - g·t = V0/4· (2)^(1/2) - 9.81 · t........... siendo t el tiempo.
Durante ese tiempo, la posición del balón viene determinada por la de un moviento rectilineo uniforme en la horizontal y la de un movimiento uniformemente acelerado (gravitatorio) en la vertical.
x = V0/4·(2)^(1/2)·t
y= V0/4·(2)^(1/2)·t - 9.81/2·t^2
Esta sería la solución a la primera parte del problema.
Pero he aquí que la cosa podría complicarse por lo siguiente. Esto que hemos dicho hasta el momento es cierto para el caso de que la velocidad y la altura a la que llegue el balón sea pequeña pero, ¿y si realmente llegara a la estación internacional, como se insinúa en la segunda parte del problema? Entonces nuestro anterior desarrollo sería incorrecto, ya que todos sabemos que la luna alrededor de la Tierra da vueltas y no hace un movimiento parabólico de ascenso y descenso. Por tanto, deberíamos primero conocer si podría resultar un problema o no.
Para ello, volvemos a hacer uso de la primera ecuación, lo cual da la siguiente relación:
E potencial inicial + energía cinética inicial = E potencial final + E cinética final
-G·M·m/Rt + 1/2·m·V0^2/4 = -G·M·m/R + 0
R=-G·M/(1/8·V0^2-G·M/Rt)
R= -G·M/(1/8·2·G·M/Rt -G·M/Rt) = 4/3·Rt.
-G·M·m/Rt + 1/2·m·V0^2/4 = -G·M·m/R + 0
R=-G·M/(1/8·V0^2-G·M/Rt)
R= -G·M/(1/8·2·G·M/Rt -G·M/Rt) = 4/3·Rt.
Por tanto, nuestros astronautas, a 3 Rt, no deben preocuparse. 4/3· Rt sería la altura máxima.
No obstante, es una distancia notoria como para aplicar otras ecuaciones al apartado 1. El balón ya no hace un movimiento parabólico constante, sino que hay que tomarlo como dependiente de la altura, por tanto:
x = V0/4·(2)^(1/2)·t
y= V0/4·(2)^(1/2)·t - G·M·m/(Rt+y)^2·t^2 = 1/2·(G·M/Rt)^(1/2) - G·M·m/(Rt+y)^2·t^2
y= V0/4·(2)^(1/2)·t - G·M·m/(Rt+y)^2·t^2 = 1/2·(G·M/Rt)^(1/2) - G·M·m/(Rt+y)^2·t^2
Nos encontramos entonces con que la y (la altura o R) depende de la gravedad que exista a esa altura R, por tanto es una solución de complejo cálculo que se deja al lector.
En cualquier caso, cuando se resolviera la ecuación, el siguiente paso sería considerar si x, desde el momento en que sube hasta el que hipotéticamente baja, es superior a Rt (radio de la Tierra). Si fuera el caso, el objeto orbitaría y entonces no hablaríamos de un movimiento parabólico, sino circular o elíptico.
Pero esta ya es otra cuestión.
Lo siento pero lo tienes mal. En el primer apartado, no es un movimiento parabólico, ya que la velocidad es tan grande, que la distancia al centro de la tierra varía, y con ella, también la aceleración de la gravedad a=-GM/r(la fuerza no es constante, hay que resolverlo de otra manera).
ResponderEliminarEs un problema de movimiento bajo fuerzas centrales, se resuelve totalmente por conservación de la energía, en coordenadas polares. La trayectoria es una órbita elíptica alrededor de la tierra. Los parámetros que nos piden son 3, la energía, y 2 geométricos (por ejemplo los semiejes, aunque también valen la excentricidad y el parámetro de la curva). Los semiejes son 2R/3, 2*raíz(3)R/3, y la E=-3GMm/4R. El segundo apartado se resuelve comparando el semieje mayor (2*raiz(3)/3R<3R) no hay nada que temer
Estimado Queque:
EliminarEn efecto, si leíste el último párrafo, explico lo que tú dices y omito el cálculo. Te indico el párrafo en cuestión:
"Nos encontramos entonces con que la y (la altura o R) depende de la gravedad que exista a esa altura R, por tanto es una solución de complejo cálculo que se deja al lector.
En cualquier caso, cuando se resolviera la ecuación, el siguiente paso sería considerar si x, desde el momento en que sube hasta el que hipotéticamente baja, es superior a Rt (radio de la Tierra). Si fuera el caso, el objeto orbitaría y entonces no hablaríamos de un movimiento parabólico, sino circular o elíptico.
Pero esta ya es otra cuestión"
En efecto, la solución es en coordenadas polares y la aceleración no es constante. Sin embargo, pese a quien pese, hasta que no se hace el primer apartado por movimiento parabólico un alumno no podría estar suficientemente seguro de que la velocidad sea suficiente para generar un movimiento circular o elíptico alrededor del planeta. (A menos que, claro, ya haya hecho unos cuantos problemas con anterioridad y tenga una referencia).
En cuanto al apartado 2 que mencionas, como ves se ha resuelto simplemente por conservación de la energía. En este caso, como ves, se considera que el cuerpo llega a una velocidad final de 0. Esa altura es de 4/3·Rt y no la que has mencionado. ¿Qué pasará luego? El cuerpo caerá inexorablemente a la Tierra.
Según tu planteamiento, has considerado que el cuerpo, desde la Tierra, asciende y llega a un punto en el que alcanza una velocidad adecuada que le permite realizar una órbita elíptica. Como bien sabes, esta órbita depende exclusivamente de la velocidad del cuerpo y de la fuerza central. Sin embargo, como también sabes, no depende exactamente de la velocidad (el módulo), sino de la dirección y sobre todo del momento del cuerpo. Este punto sería el que convendría aclarar, ya que habría que analizar si una velocidad mitad de la de escape y dirección formando un ángulo con la tangente a la Tierra (es decir, con respecto al suelo) de pi/4 es capaz de ser atrapado y crear la órbita elíptica o bien es atrapado por la acción gravitatoria y se precipita en el suelo.
En mi caso, consideré que el problema consistía en que llegara hasta velocidad 0 y luego se precipitara sobre el suelo. Por tanto, la respuestas es 4/3·Rt.
Si, como es tu caso, consideras que el movimiento que genera es de una órbita elíptica, creo que todos los lectores (incluido yo) agradeceremos que nos indiques cómo llegas a la ecuación polar exacta que describe el movimiento del balón-satélite. Ten en cuenta que no valdría simplemente con decir qué energía y parámetros de la curva final se obtienen, sino que lo más interesante es conocer el movimiento en espiral que desarolla el balón desde el suelo hasta que orbita mediante una curva elíptica.
Gracias por tu respuesta y seguiremos en contacto.