¿El sol sale siempre por el Este?

Dice la creencia popular que el Sol siempre sale por el Este. Es un principio básico enseñado en la escuela desde siempre. También es notorio el caso en el que se habla de que los antiguos pueblos maya, asirio, egipcio o babilonio dirigían sus templos hacia la salida o puesta del Astro Rey. Aún es más llamativo el caso del musulmán que reza en dirección a la Meca, que históricamente en África, Europa o América ha sido hacia el Este, es decir, nuevamente en dirección del amanecer.

 

¿Es esto realmente así? Una simple reflexión ya nos incita a pensar que esto no puede ser así, simplemente porque en la Tierra hay muchos lugares y latitudes y por tanto parece que más o menos la dirección este se mantiene, pero no con total exactitud.

 

Aun así, cabe pensar... ¿existe algún lugar en la Tierra donde el Sol sale por el Este?¿Quizá sale en todos y lo dicho es una apariencia?¿Quizá no sale en ninguno? En el siguiente tema trataremos de despejar las dudas.

 

Ante todo, hay que hacer algo de memoria sobre un tema que ya comentamos hace algún tiempo: El increíble mundo de las coordenadas. En él, hacíamos referencia a las coordenadas esféricas y a las coordenadas cartesianas. La cartografía local generalmente se mide en coordenadas cartesianas (que corresponden a Norte, Sur, Este y Oeste). Sin embargo, el movimiento solar, para un observador local o incluso para el observador que esté fuera del sistema Tierra-Sol, resulta más ventajoso que se mida en coordenadas esféricas.

 

Como ya vimos en aquel tema, es fácil traducir los puntos notables de dichas coordenadas a otro sistema. Así, por ejemplo, los puntos cardinales Norte, Sur, Este y Oeste, se pueden describir de manera local como azimut (o primera coordenada angular) como 180º, 0º, +90º y -90º. Así pues, en una ubicación terrestre por la cual el Sol saliera exactamente por el Este, se diría que el Sol tendría azimut +90º. La cuestión es averiguar si en algún punto de la Tierra se da esta circunstancia y dónde se encuentra este punto.

 

Para aclarar esta idea, deberíamos observar la siguiente figura, donde se muestra a la Tierra en los puntos notables de su movimiento de translación así como de otros puntos intermedios.

La figura es la representación de la Tierra como un cuerpo quieto (lo cual, como sabemos no es cierto) sobre el que gira y se coloca en diversas posiciones el Sol, aquí no representado. El Sol no se representa por estar muy lejos en relación  a la Tierra, lo que significa que se puede considerar que el Sol está a distancia infinita y puede ser sustituido por sus rayos, representados por la condición anteriormente dicha como paralelos. Las cuatro posiciones coinciden con los dos solsticios (21 J y 21 D) y los dos equinoccios (23 S y 21 M). Como puede verse, el trópico de cáncer, el de capricornio y el ecuador están representados. Estas líneas tendrán su importancia durante la discusión. Por último se representan el eje (que define el Norte y el Sur), el plano de la eclíptica así como el ángulo que forma el eje con la eclíptica (23º) y por último un punto arbitrario P de la superficie terrestre, que será objeto de nuestro estudio. También se ha hecho el dibujo de un círculo, a efectos de hacer entender que los rayos del Sol podrían ser representados más bien como un tubo o cilindro de luz más que la representación plana que aparecen en el resto de puntos notables.

 

La razón fundamental de la posición del Sol respecto de la Tierra es el ángulo que forma el eje con la eclíptica. Si no fuera por esta desviación, no habría estaciones. La posición del Sol, vista desde la Tierra, en cada momento es la posición que ocupa respecto a los cuatro puntos cardinales (N-S-E-O). Existen varias reglas fácilmente demostrables a la vista del dibujo que nos ayudarán a definir exactamente la posición del Sol y sobre todo calcular la posición exacta del Este. Las reglas son las siguientes:

 

1. La posición se define como ángulo respecto al Sur. Así la posición sur es 0º.

 

2. Si un punto está en el hemisferio Norte o Sur más allá de los trópicos (por ejemplo, en el paralelo 40), el Sol siempre está en posición Sur o Norte respectivamente al mediodía.

 

3. El Este y el Oeste siempre coinciden con la dirección del movimiento de rotación de la Tierra, sin importar la época del año, ya que el eje de la Tierra está siempre orientado de Norte a Sur.

 

4. Se desprecia tanto el ángulo que forman los rayos del Sol con la Tierra (se consideran paralelos) y se desprecia también pequeños recorridos de la Tierra alrededor del Sol a efectos prácticos de cálculo (por ejemplo, cambios de posición en el transcurso de menos de 1 día).

 

 

Según estas reglas, el Sol saldrá por el Este y se pondrá por el Oeste exactamente sólo los días en los que al amanecer o al atardecer el Sol coincida con la dirección del movimiento. Imaginemos nuevamente el punto P en uno de los puntos notables, en concreto en el solsticio de 21-D. En la siguiente figura se observa varias cosas interesantes:

La figura de la derecha representa los rayos solares incidiendo sobre la Tierra durante el Solsticio 21-D. Como se puede observar, la Tierra gira constantemente. El punto P (representado en rojo) se traslada invariablemente durante todo el año por el paralelo dibujado en azul. El día 21-D, el punto rojo no comienza a ver el sol hasta que llega al plano perpendicular a la eclíptica (línea vertical). Puede verse mejor esta circunstancia en la figura de la izquierda, donde la línea continua más delgada demuestra que está representado justo ese punto y no otro. También, como puede observarse, durante cierto tiempo el punto rojo seguirá el contorno de la circunferencia terráquea, ya que está más al norte del trópico de cáncer. Posteriormente ya seguirá plenamente el paralelo azul hasta el atardecer. Puede observarse que, en esa circunstancia, el Este, que corresponde a la dirección de avance, poco tiene que ver con la posición Este del mediodía. Es decir, como dijimos, la orientación del Este es siempre la orientación del sentido del movimiento. En el punto verde, que representa el mediodía, el vector de orientación forma 90º con el Sur, que es donde apunta el sol en ese momento. Por tanto, se concluye que dicho día, el Sol no sale por el Este sino por una posición más bien sureste para dicho punto concreto.

¿Cuál es esa orientación sureste? La calcularemos posteriormente.

Algo parecido ocurre en los solsticios, pero se puede demostrar que ese punto por el que sale el Sol tiene posición noreste. Por tanto, entre uno y otro, al tratarse de una función continua, debe existir un día en que el amanecer coincide con el Este.

Dicho punto ocurre en ambos equinoccios. Habrá quien haya concluido esto fácilmente diciendo "si no es en el solsticio, será en el equinoccio", pero esto no es tan fácil. En primer lugar, para demostrarlo, sólo tenemos que referirnos nuevamente a la figura de la derecha. Si en lugar de los rayos dibujados nos imaginamos los rayos en el equinoccio, nos encontraríamos con que serían perpendiculares al plano del dibujo (perpendiculares a nuestra pantalla). En esa situación, obviamente todos los puntos de la circunferencia exterior son perpendiculares a los rayos del Sol. Por tanto, siempre que le toque amanecer a un lugar de la Tierra, se encontrará con que verá salir el Sol exactamente por el Este. También ocurrirá lo mismo al atardecer: lo hará por el Oeste exacto. Esto puede verse reflejado en el punto azul.

De este estudio pueden sacarse interesantes conclusiones. Por ejemplo:

a) Podría parecer que en los equinoccios el Sol en el punto P se viera en el sureste o suroeste al mediodía (debido a que en el dibujo se ve un ángulo de desvío de 23º). Esto no es así ya que el sol está situado en la eclíptica para el observador interno pero si nos fijamos en el dibujo, el observador terrestre vería que el Sol se desplaza por el cielo de Este a Oeste, ya que no observa la eclíptica, sino el movimiento intrínseco de la Tierra. Esto ocurriría para todos los puntos de la Tierra.

b) Podría parecer que tras lo dicho en a) todos los puntos de la Tierra de un mismo meridiano verían el Sol de la misma manera durante los equinoccios (es decir, con la misma altura y azimut). Esto no es cierto, ya que a pesar de que el movimiento del Sol esos días es rigurosamente E-S-O, el observador está situado en una latitud determinada, lo que lo convierte en un observados situado en un sistema de referencia relativo al plano tangente a la superfice de la Tierra. De este modo, aunque un mismo meridiano situado en el hemisferio norte verían el sol al Sur, no cabe duda de que lo verían a distintas alturas.

c) Las zonas intertropicales (como el ecuador) verán el curioso fenómeno de que el Sol durante el año ocupará todas las posiciones del azimut (desde el 0º al 180º, pasando por el +90 y -90º) a lo largo del año.

d) Las zonas polares verán el curioso fenómeno de que desde el equinoccio de primavera al equinoccio de otoño el Sol recorrerá todos los puntos del azimut todos los días. El resto del año estará a oscuras.

Por último, cabe destacar al cálculo de la posición de la salida del Sol. Si consideramos un punto P situado más allá del trópico de Cáncer en dirección Norte, la posición oscilará del verano al invierno de la siguiente manera:

En el invierno: 90-latitud-23º.
En la primavera y el invierno: 90º
En el verano: 180-latitud-23º.

Este cálculo siempre tiene que ser positivo. Si es negativo, entonces quiere decir que no amanece (zonas polares, por ejemplo).

Pongamos un ejemplo: en Nueva York (paralelo 40º). En invierno amanece con azimut 27º,es decir, en una posición SSE, muy alejada del Este, mientras que en verano lo hace en el azimut 117º, es decir, algo menos que la posición Noreste (135º). En el caso Quito, a 0º, amanece en el "invierno" en la posición azimutal 67º, mientras que en el "verano" lo hace en la posición azimutal 157º.

En el Polo Norte, en el invierno no amanece (-23º), mientras que en verano lo hace en la posición 67º (aunque en el verano esta afirmación carece de sentido, al existir Sol de Medianoche). Sería más bien el punto más bajo de la trayectoria solar. Como dato curioso, en el círculo polar ártico amanece en el invierno por el Sur.

 

El increible mundo de las coordenadas

Hoy vamos a conocer diferentes métodos de abordar un mismo problema: como ubicar correctamente nuestra posición física. Si bien hoy disponemos de sistemas más que reconocidos por su efectividad, como el caso del GPS, no está de más tratar de entender qué significan estos números y sobre todo por qué son estos números y no otro.

La ubicación de nuestra posición siempre se realiza de una manera parecida: necesitamos una referencia (en física se le conoce como sistema de referencia). Usted, mi estimado lector, se encuentra delante de su ordenador en su habitación o despacho. Quizá incluso esté en la calle o el autobús con su tableta o teléfono inteligente. En cualquier caso, ¿dónde se encuentra usted realmente? Si está en su despacho me dirá: a 3 m de la puerta o en la esquina de mi habitación. Si está en la calle, me dirá que está en los jardines de la Quinta Avenida en Nueva York. En definitiva, usted está en todo momento referenciando su posición a un sistema de referencia.

Lo más importante de un sistema de referencia es conocer dónde se ubica su origen. Por lo general, este origen es un punto del espacio (aunque en ocasiones puede ser una superficie o una curva). Este punto se conoce como origen del sistema de referencia y por lo general tiene valor 0. La importancia del origen del sistema es más bien formal que otra cosa. De hecho, nuestros ojos pueden bien ser sistemas de referencia de nuestro mundo. Así, si nos preguntaran que dónde estamos, podríamos decirles sin miedo a equivocarnos que estamos en nosotros mismos. De todas maneras, al haber múltiples puntos de vista, el origen del sistema de referencia trata de armonizar las distintas visiones a través de un sistema de referencia absoluto, es decir, un sistema que todos admitan como sistema de referencia fundamental (por ejemplo, la esquina de un aula en un colegio).

Si algo interesante dijeron Newton y Galileo fue que no existen sistemas de referencia absolutos, sino que todos pueden ser relativos y lo que es mejor, que para nada es importante disponer de este sistema absoluto, sino que todos están referenciados entre sí por medios de coordenadas. Así, si estamos en una carretera entre dos ciudades, A y B, que distan 10 km, nos da igual decir que estamos a 3 km de A que decir que estamos a 7 km de B. Lo interesante es entender que gracias a esta versatilidad de coordenadas, podemos a veces resolver problemas que de otra manera serían imposibles de resolver por otros medios.

Así, disponemos de varios tipos de coordenadas. Para reflejar nuestra posición en el mapa, usaremos las coordenadas geográficas (dentro de estas, a su vez, hay muchos tipos, como son las coordenadas de latitud-longitud o las coordenadas UTM). Lo más interesante en estos momentos es conocer de dónde surgen estas coordenadas geográficas: de las coordenadas matemáticas.


Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas se basan en la concepción del espacio como un ente de tres dimensiones: altura (z), anchura (y) y longitud (x). Son útiles en lo que se denominan espacios euclídeos, es decir, espacios rectilíneos y planos, tales como son habitaciones, suelos, techos, etc. Son las coordenadas más intuitivas y prácticas, por el hecho determinante de que el papel es plano y por tanto se puede definir en la superficie del mismo dando dos datos (es el famoso juego de la guerra naval). Aplicado al espacio, tres datos. Son las coordenadas habituales en arquitectura debido a la existencia de planos.

Las coordenadas cartesianas permiten calcular las más simples nociones de movimiento, como es el movimiento rectilíneo, al mismo tiempo que permiten definir sistemas de referencia absolutos o ubicar los sistemas de referencia relativos fácilmente respecto de un sistema de referencia absoluto. Los sistemas de referencia cartesianos permiten calcular de manera rápida y práctica casi todas las figuras geométricas básicas, así como sus áreas y los volúmenes de figuras poliédricas (en general, cualquier figura o cuerpo geométrico es fácilmente definido en estas coordenadas).

Así, en la figura, el punto (xa, ya, za) está situado en la diagonal opuesta del vértice del ortoedro de medidas xa de largo, ya de ancho, za de alto situado en el origen de coordenadas. De esta forma, realizando ortoedros siempre con un vértice de la base en el origen de coordenadas, siempre se puede definir cualquier punto del espacio.

La principal ventaja y característica de este sistema es que sus tres coordenadas tienen tienen unidades longitudinales (a diferencia de otros sistemas de coordenadas, que tienen unidades longitudinales y angulares). De esta manera, es casi inmediato el cálculo de áreas o volúmenes, al multiplicarse entre sí estas cantidades o múltiplos de las mismas.

Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas (también llamadas polares cuando se refieren a espacios de dos dimensiones, es decir, al cilindro de altura 0), constan también de tres coordenadas, dos coordenadas longitudinales (ρ, o coordenada radial, y z, la altura) y una coordenada angular (φ).

La coordenada radial de un punto se interpreta como su distancia al eje Z, mientras que Z de interpreta como la distancia del punto al plano XY, o lo que es lo mismo, la altura, entendiendo que XYZ son los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas. El tercer parámetro, la coordenada angular, indica la posición o ángulo que tiene el radio o distancia al eje Z.

Las coordenadas cilíndricas pueden ayudar a resolver de manera mucho más fácil cálculos relacionados con áreas o longitudes circulares, de manera que simplifiquen funciones muy complejas en coordenadas cartesianas.

Coordenadas esféricas:

Las coordenadas esféricas representan el caso más radical de diferenciamiento con las coordenadas cartesianas. De la misma manera, su posición es función de tres parámetros, pero exclusivamente uno es longitudinal. Los otros dos parámetros son coordenadas angulares.

La ventaja de estas coordenadas están en que la posición queda definida por una distancia respecto al origen de coordenadas, que es el centro de una esfera de radio r. Todos los puntos a igual radio r, tienen idénticas propiedades esféricas. La posición exacta, que la referencia con las coordenadas cartesianas vendrá dada por los ángulos fi y theta, el primero de los cuales es equivalente a la coordenada angular cilíndrica (llamada coordenada azimutal) y el segundo se refiere a la denominada altura o altitud, que oscila exclusivamente entre 0 y 180º (a diferencia del azimut, que es de 0 a 360º.

Problemas o geometrías esféricas son fáciles de resolver por estas coordenadas.


Por último, cabe pensar que el resto de coordenadas, incluidas las geográficas, no son más que métodos derivados de las coordenadas anteriormente vistas. En particular, el sistema geográfico derivado de la latitud y la longitud deriva directamente del sistema esférico, con la particularidad de que no requiere más que dos coordenadas (curiosamente las dos coordenadas angulares). La tercera coordenada es innecesaria, ya que la Tierra es esférica y por tanto tiene un radio constante (a pesar de que realmente existen diferentes alturas en el planeta, pero éstas, con respecto al radio medio, que mide 6370 km, no representa más del 0,1% del mismo)

Un problema probabilístico: la esperanza de vida

El ser humano siempre tiene la extraña percepción de que no van a ocurrirle desgracias (o al menos no a largo plazo). Sabemos que tarde o temprano vamos a morir pero no sabemos cuándo. Una de las variables más importantes en demografía es la esperanza de vida, es decir, cuántos años vivirá de media una persona en cierta población. La esperanza de vida sigue una función normal, como indica la figura, siendo escasos los habitantes que mueres siendo niños y también los que mueren más allá de la media. Sin embargo, como hemos dicho, es cuestión de cada población y así en países desarrollados la distribución es más puntiaguda mientras que en países pobres es más achatada.

Cabría entonces, preguntarse una de las cuestiones fundamentales de la humanidad, ¿cuándo moriré? Esta cuestión es, claro está, una incógnita. Sin embargo existen datos muy curiosos que nos permitirán conocer si nos quedan muchos o pocos años de vida y cómo de fácil es morir.

Por ejemplo: la esperanza de vida en los países desarrollados está en 78 años. Esto quiere decir que de media, un individuo vive 78 años. Puede ser que muera con 15 o con 105, pero el pico de la distribución normal indica que, por probabilidad, será más fácil que una persona muera a los 78 años que a cualquier otra edad. Entonces, podemos preguntarnos cuál es la probabilidad de morir en cuanto acabemos de leer este texto.

Nuestra intuición nos lleva a pensar que cuanto más jóvenes somos, menor es la posibilidad de morir. Esto no es cierto. Lo que es menos probable es que muramos antes de llegar a la esperanza de vida, pero eso no significa que una persona con 80 años tenga, a priori, una posibilidad mayor de estar muerta el minuto siguiente respecto a una de 15.

Analicemos la situación.

Sea p la probabilidad de sobrevivir en un minuto cualquiera. Suponiendo que la probabilidad de morir sea constante (cosa que no es cierta, ya que la probabilidad aumenta al estar en contacto con algún factor de riesgo), la probabilidad de probabilidad de morir sería 1-p (es decir, hay un 100% de posibilidades, o sea, 1 en probabilidad de que o bien el individuo esté muerto o bien esté vivo). Por tanto, p es la probabilidad de sobrevivir y 1-p la de morir.

En el primer minuto de vida, no hay más posibilidades que estar muerto o estar vivo, es decir p o 1-p. En el siguiente minuto, la probabilidad de estar vivo es la probabilidad de haber estado vivo el primer minuto y estar vivo el segundo minuto.

Por poner un ejemplo, si la probabilidad de sobrevivir el primer minuto es del 80% y de morir el 20%, la probabilidad de morir en el siguiente minuto sería 0,8 x 0,2 = 16% (puesto que para morir en el segundo minuto ha de estar vivo el primero). La probabilidad de estar vivo sería, por tanto, 0,8 x 0,8 = 64%. En el tercer minuto, la probabilidad de estar vivo sería tan sólo del 51,2% mientras que la de morir sería de un 10,24 %.

A la vista de estos resultados, podría parecer que la posibilidad de morir es cada vez más escasa. Esto es una paradoja. En realidad, al contabilizar de esta manera, obviamos que sólo estamos contando la posibilidad de morir en ese minuto. Esto es, quizá el individuo murió en el minuto 2 y por tanto no tiene sentido hablar de morir o vivir en el minuto 4. Esto significa que para el cálculo que vamos a realizar, sólo nos importa que el individuo esté vivo en el minuto m.

Consideremos que la probabilidad P de estar muerto a los 78 años sea alta (por ejemplo, un 90% de los individuos no llegarán a esa edad). Hemos visto que la probabilidad de estar vivo en el minuto m viene reflejada por la fórmula p^m (p elevado a m). Por tanto la probabilidad de estar muerto es 1-p^m.

Esto nos lleva a la siguiente fórmula:

P = 1 - p ^ m

En nuestro caso:

0,9 = 1- p ^ m

m es el número de minutos que hemos estado vivos en esos 78 años, es decir 40996800 minutos (sí, en efecto, una cifra exigua).  Por tanto, la probabilidad de morir en un determinado minuto será, suponiendo una probabilidad P del 90%, de 5,6 x 10^-8. O sea, una posibilidad entre 17 millones. Es decir, lo más probable es que usted siga vivo tras leer esto.

El caso es que podría parecer que es tan probable que en el siguiente minuto muera un joven de 15 años como que muera un señor de 90. Y es así. Lo que ocurre es que, como pasa en una tirada de dados, es poco probable que salga el 6 a la primera (un 16,66%) pero en la segunda tirada, la probabilidad de que salga el 6 tras haber realizado la primera es notablemente mayor (30,55%). A la tercera tirada, casi hay un 50% de posibilidades de que salga el 6. Sin embargo, en todas las tiras, la probabilidad de que salga el 6 es siempre la misma (1/6).

Lo mismo ocurre con la vejez: vamos acumulando situaciones más favorables para que ocurra el momento fatídico, simplemente por probabilidad. Esto, sin embargo, ha sido estudiado teniendo en cuenta que la probabilidad de que muramos en el minuto m no está condicionada a lo que ocurre en el minuto m-1. Esto, como bien sabemos, no es cierto, ya que no existe la misma posibilidad de morir haciendo alpinismo extremo que en casa viendo la TV. Sin embargo, de media, el resultado es correcto.

Quizá haya algún eufórico creyendo que es inmortal o que con un poco de cuidado su vida está resuelta hasta los 78 años, pero cuidado:

¡Hay un 50% de posibilidad de estar muerto cuando uno cumple los 23 años en un país civilizado!

Al cumplir 50 años, la probabilidad de morir es del 77%.

Sin embargo, hay motivo para la esperanza. Si pasamos los 78 años, lo más probable es que en un país civilizado nos pasemos más de 20 años con prácticamente la misma posibilidad de morir (entre 90-99% de posibilidad). Esto significa que tendríamos prácticamente la misma probabilidad de vivir 100 que de morir pocos días después de cumplir los 78.

Por comparar con los países subdesarrollados, como en África, la esperanza de vida es tan sólo de 49 años. En estas circunstancias, la probabilidad de morir al minuto siguiente es 20 veces mayor. En concreto, la posibilidad de seguir vivo a los 78 años sería de menos del 1%, es decir, casi 10 veces inferior a un país desarrollado.

El lenguaje de las ecuaciones

Stephen Hawking decía en su libro Historia del Tiempo que alguien le dijo que por cada ecuación que pusiera en su libro, reduciría las ventas a la mitad. Cabe preguntarse si esto era realmente cierto, pero nuestra intuición nos dice que si se equivocaba aquel vaticinio sería por poco.

Reconozcamos que nos cuesta muchísimo entender el lenguaje matemático, quizá porque a simple vista resulta poco intuitivo y sobre todo porque cualquier expresión matemática requiere, aunque sea mínimamente cierto grado de esfuerzo cerebral (comprensión) y en algunos casos incluso un esfuerzo significativo (cálculo mental).

Esta es la auténtica razón de que las ecuaciones nos resulten difíciles de entender y sobre todo de disfrutar. Hay quienes encuentran el origen de esta dificultad en una deficiencia de la preparación de los profesores de matemáticas, que son incapaces de transmitir este lenguaje a sus alumnos. ¡Increiblemente quienes piensan así son fundamentalmente los propios matemáticos! ¿Es cierta esta afirmación?¿Cabe responsabilizar al maestro de que el alumno pierda el interés o incluso no comprenda el lenguaje matemático?

Lo cierto es que el lenguaje matemático no es más que una abreviación del lenguaje lógico (como la escritura demótica lo era de la jeroglífica). El curso de la Historia de la Filosofía griega está íntimamente relacionado con la Historia de la Lógica. De hecho, la lógica se convirtió en el auténtico motor de la filosofía, ya que pronto se descubrió una relación bastante estrecha entre lo que es y lo que parece (la paradoja). Era necesario elaborar una serie de estructuras alfanuméricas capaces de representar de manera abreviada y abstracta lo que se decía en lenguaje hablado.

Por ejemplo, cuando se escribe que el área del triángulo es A= 0,5 x b x h, lo que realmente se quiere decir (y así consta en papiros de Egipto, por ejemplo) que "el área del triángulo es igual a la mitad del área del rectángulo que tiene como lados la base del triángulo y la altura del triángulo". Nadie actualmente (ni siquiera los matemáticos) se expresan de esta manera, y dirían directamente que "el área del rectángulo es base "por" altura "partido" o "dividido" por 2". Como se ve en el entrecomillado, hemos simplificado la expresión "egipcia" por la expresión moderna, que una vez conocido el lenguaje resulta mucho más asequible y directa.

Volvamos a nuestro punto de partida. ¿Cuál es la verdadera causa de que nos sintamos abrumados por las ecuaciones y las expresiones matemáticas? Sin duda es, en primer lugar, el desconocimiento de los símbolos y su significado. La segunda razón es que en muchos casos los símbolos o la expresión es tan abstracta que sin la ayuda adecuada (un maestro) no somos capaces de entender lo que realmente quiere decir esa expresión. La tercera razón es que en muchas ocasiones se exige un trabajo mental adicional.

Veamos el siguiente ejemplo. Cuando decimos: "mi padre quiere ir a la playa" estamos expresando un pensamiento. No requiere más comprensión que la interpretación de cada palabra en el contexto. Aunque parezca lo contrario, esta expresión resulta mucho más complicada para una "inteligencia matemática" que una ecuación matemática, ya que la declaración sólo expresa algo que es cierto o algo que es falso. Un ordenador, por ejemplo, no entendería los conceptos asociados a la frase como son "disfrute" o "a mí también me gustaría ir". Estas ideas asociadas, que aparecen en la mente del ser humano, están tan embebidas en el propio cerebro que el lenguaje humano, aún siendo más complicado que el lenguaje formal o "máquina", nos resulta mucho más natural.

El problema en matemáticas reside en que cuando decimos ¿dónde están las llaves?, la respuesta admite miles de soluciones, aunque no todas sean verdaderas. En cambio, en matemáticas, sólo existe una respuesta verdadera. Por tanto cuando se dice ¿cuánto vale 1000 + 300?, la respuesta sólo puede ser 1300. Otra respuesta, o bien no es verdadera, o caso de que sea verdadera puede ser demostrable. Así, si decimos que 10 + 11 = 101, esta expresión o bien es falsa o bien es cierta suponiendo que, por ejemplo, estamos haciendo uso de números binarios en lugar de decimales.

Dicho todo esto, podemos decir que interpretar una expresión matemática no es más complicado que interpretar lo que quiso decir un pintor en un cuadro. Lo único que hay que entender es el lenguaje, conocer sus símbolos y la sintaxis de esos mismos símbolos. Por ejemplo, en la expresión:

x = f ' (x) - f(x)     /   f(x) = 3 + 2 · exp (x-3)

lo que hay realmente quiere decir es que "la incógnita x, es igual a la derivada de una función menos dicha función, tal que (el símbolo / significa "tal que") la función es 3 más 2 multiplicado por el número e (aproximadamente 2,71828) elevado a x menos 3).

Lo que nos ha llevado un párrafo, estaba condensado en una línea usando la expresión matemática. La cuestión es fácil pero habrá quien diga "sí, esto ya lo sabía yo, lo que ocurre es que yo no sé lo que es una derivada o yo no sé lo que es la función exponencial". Este argumento no es para nada válido, ni mucho menos, para demostrar que el lenguaje matemático es inasequible. Más bien lo contrario, es un argumento para demostrar la ignorancia del que lo menciona. Supongamos que tenemos la siguiente frase:

Los babuinos encontraron el cigüeñal y lo destrozaron.

Esta frase quizá no tenga sentido para muchos, bien porque esté sacada de contexto, bien porque no se conozcan los términos. Esto mismo pasa en matemáticas: ocurre con relativa frecuencia que sacamos conclusiones equivocadas o no entendemos la expresión porque o bien no tenemos conocimientos suficiente de los símbolos o bien porque nos faltan las bases matemáticas suficientes como para adentrarnos en estos símbolos. Uno podría entender de esta frase lo siguiente "los babuinos (una tribu africana) encontraron a una cría de cigüeña y la mataron", cuando en realidad quiere decir "unos monos encontraron una pieza de motor y la rompieron".

De la misma manera, hay frases que son complicadas, enrevesadas, normalmente en libros de filosofía o de pensamiento, que requieren un esfuerzo mental adicional (o al menos mayor que leyendo la última novela de Harry Potter). Lo mismo ocurre en matemáticas: a veces se exige un esfuerzo mental para no sólo comprender lo que se dice, sino también entender las relaciones y la magnitud de lo que se dice. Así, tomando como ejemplo la frase anterior, entender que unos monos han roto algo no requiere una gran preparación. Ahora bien, interpretar las connotaciones y los peligros de que animales potencialmente peligrosos merodeen o tengan contacto con la tecnología es una deducción no directa y requiere un esfuerzo posterior.

Resumiendo: animemos a la gente a leer más texto científico, con ecuaciones incluidas, ayudándoles a entender lo que ahí se pone. Entre todos, podemos hacer que poco a poco se vayan disipando algunas nieblas que aún quedan en el conocimiento del hombre moderno.

Didáctica moderna. Ciencia y matemáticas.

Estamos un poco cansados de tanta crisis. Hagamos un descanso sobre este tema y disfrutemos de una conversación distinta. Como dirían los budistas, todo está relacionado con todo, y en especial la crisis mundial no sólo afecta a un tema económico, sino también social e incluso me atrevería a decir que filosófico.

Aquí entra a fondo el tema educativo. Nunca nos cansaremos de decir y de oír que la educación es la base para la felicidad de una sociedad. Esto es cierto y buena cuenta de ello daban ya los griegos y sus más insignes pensadores, entre los que destaca el amigo Platón, cuyo diálogo La República nos indicaría cómo realizar la educación de nuestro pueblo.

Todo ha evolucionado, incluso la enseñanza. A nadie se le escapa que los viejos días de tiza y pizarra han desaparecido (o casi). Ahora son las diapositivas, las pizarras electrónicas, las agendas electrónicas y los libros electrónicos lo que inundan a millones de colegiales y de universitarios.

Según se dice en los actuales manuales de docencia, cuando preparan a uno para ser docente, la figura del maestro ha dejado de ser la de un sujeto omnisciente para convertirse en un vehículo de comprensión, algo así como un soporte, un bastón sobre el que el niño elabora su propio conocimiento (es lo que se llama teoría cognoscitiva, siendo Piaget uno de sus principales defensores). Reconozco que, por propia experiencia, hay niños que pueden desarrollarse según este esquema, pero la realidad es más bien distinta: los niños no son capaces de entender por sí solos la realidad si no se apoyan en las directrices del maestro.

Pongamos el siguiente ejemplo. Un niño vive en una inmensa biblioteca. Según Piaget, el niño desarrollará una curiosidad natural. El maestro únicamente se limitará a conducir esa curiosidad dentro de los límites del esquema. Por tanto, el auténtico descubridor del conocimiento será el niño. Así, antiguamente, el maestro era quien descubría el secreto (o como se dice en términos docentes, enseñaba el secreto). Entonces, de acuerdo a Piaget, el niño no realizaba esfuerzo creativo, sino un simple esfuerzo memorístico, lo que convertía al niño en un agente adaptado a la sociedad circundante, con poca o nula capacidad de expresión, de pensamiento único e incapaz de tener inventiva.

¿Por qué triunfaron las posturas de Piaget en la didáctica moderna? En la sociedad actual, tan tecnificada y con tantas posibilidades y recursos informativos y tantos canales de expresión, se ha vuelto fundamental que los estudiantes sean encaminados a una formación mucho más creativa. Por todos lados vemos aparecer profesiones como programador web, publicista, periodista, informático de sistemas, cocinero minimalista... que requieren un concepto mucho más creativo que profesiones como administrativo o camarero, profesiones mucho más establecidas en el sistema social. Este siglo XXI es más que ninguno el siglo de los artistas. Por todos lados se buscan a personas creativas, que generen la próxima pantalla ultraplana o el próximo avión-coche. Creatividad, esa es la clave. Una sociedad que avance sin límites.

Sin embargo, el propio Piaget no fue consciente del punto débil de su planteamiento. A poco que pensemos, lo encontraremos. Volvamos a ese niño que vivía en una biblioteca. El descubrimiento realizado por el propio niño evita, como dijimos, la enseñanza, propiamente dicha, y establece la tutoría. El maestro se convierte en tutor, en guía del aprendizaje. Es un simple freno que se acciona si el niño va demasiado lejos o malinterpreta la información. Pero su punto débil está en que las capacidades del niño, a efectos prácticos, son finitas y que el conocimiento realizado en esta manera requiere mucho más tiempo que el conocimiento adquirido por el método clásico. En efecto, la Historia de la Humanidad siempre ha sido así. ¿Imaginan tener que inventar la rueda y luego estudiarla para poder descubrir sus propiedades? En algo sí estamos todos de acuerdo y es que el conocimiento aprendido por uno mismo jamás se olvida. Si somos los generadores de nuestro propio conocimiento en vez de ser conocimiento adquirido e impuesto, entonces sabremos perfectamente aquella lección. Pero no parece sencillo que un niño pueda descubrir lo que ha llevado a cientos de hombres miles de años descubrir, cosas como la Ley de la Gravedad o conocimientos parecidos.

La didáctica clásica es muy superior a la didáctica moderna y de hecho los países que aún hoy la aplican (India, Irán, China, Alemania, ...) demuestran tener el mayor número de genios e intelectuales del mundo. Lo que hay que potenciar es la creatividad en fases avanzadas y no en fases tempranas, ya que lo principal es que los niños aprendan lo que ya se sabe. No importa el método, lo importante es que lo aprendan.

En este sentido, siempre se ha hablado de la dificultad de entender las ciencias (en particular la física y la química) y las matemáticas. Créanme que es culpa de dos factores, a saber, el primero es que no todos los profesores son capaces de transmitir correctamente lo que saben y el segundo es que no todos los profesores tienen la capacidad intelectual para haber entendido ellos antes lo que ahora se les pide que comuniquen. ¿O acaso nunca han tenido la sensación de estar delante de aquel profesor lleno de dudas o delante de aquel otro que usaba una terminología que no sólo no se entendía sino que se dudaba que fuera la correcta?

La didáctica de las matemáticas, fundamentalmente, que es la madre de las ciencias, consiste básicamente en establecerle claramente al alumno los elementos y cerciorarse de que entienden realmente lo que significa cada elemento. Así si tratamos de explicar los números racionales como el cociente de dos números en lugar de decir "son los números que representan qué porción de la tarta nos hemos comido", lo más probable es que nuestro tierno alumno no llegue a entender jamás lo que eran los "quebrados".

La enseñanza de las matemáticas, una vez que se sabe realmente lo que se quiere enseñar, entraña una menor complicación que otros saberes, como son la literatura o la filosofía. Si el profesor conoce con rigurosa exactitud, siguiendo el ejemplo de los números racionales, las propiedades de las fracciones, raramente sería capaz de no transmitir su conocimiento usando siempre un lenguaje comprensible para el alumno. Para ello, hay que tener la suficiente imaginación (o quizá la suficiente memoria) para entender qué piensa el niño. Para un niño una expresión de tipo metafórico (por ejemplo, "esta fracción nos dice cuál es número asociado") puede ser un auténtico trauma, ya que aún no está habituado al lenguaje simbólico. Para un niño, las fracciones no hablan y por tanto no "dicen" nada. Lo mejor sería decir "esta fracción es lo mismo que...". Parecen cosas absurdas, pero créanme que es así y nuestros docentes enseñan en muchos casos de esta manera.

En cuanto a la física o a la química, su dificultad estriba más que nada en el afianzamiento del conocimiento. Por ejemplo, si tratamos de enseñar lo que es una fuerza sin explicar en primer lugar por qué se mueven los objetos, difícilmente el niño se verá atraído por esta materia. De hecho, la cinemática siempre se enseña antes que la dinámica. Pero de la misma manera, si tratamos de enseñar lo que es la velocidad o la aceleración sin habernos cerciorado de que todos saben lo que es el movimiento, no podremos explicar conceptos superiores.

La ciencia y su enseñanza se traduce en dos parámetros: a) enseñar el concepto; b) enseñar las propiedades del concepto y su relación con el entorno. Los problemas, los ejercicios, las tareas, son cuestiones más bien salvables si se conoce con total seguridad el concepto teórico. No en vano, la física se traduce en aplicar fórmulas matemáticas (es decir, propiedades) a conceptos físicos.

Aproximaciones en la vida cotidiana

Desde nuestra más tierna infancia nos han enseñado las llamadas operaciones básicas (sumar, restar, multiplicar y dividir) así como las figuras geométricas básicas y sus relaciones más características. Así pues, son pocos los zoquetes que ni tan siquiera sepan las tablas de multiplicar (del 0 al 10) o que el área del círculo es pi por el cuadrado del radio.

Por supuesto que en la sociedad actual también hay, desgraciadamente, analfabetos. Pero si hay algo que cualquier gobierno debería solucionar, por muy pobre que éste fuera, es el problema de enseñar a leer, escribir y operar. Todo lo demás (insisto, todo lo demás) es prescindible frente a estos tres conocimientos básicos. Incluso cosas tan aparentemente útiles como conocer leyes, el uso de internet o, en lugares más pobres, ordeñar una vaca, son de menor importancia vital que los tres conocimientos básicos.

A nadie se le escapa que lo más importante en la vida es respirar, seguido de beber, comer y tener cobijo. Una familia en una región pobre de África tiene ante todo que hacer eso. Pero también sabemos todos que en cualquier cultura o grupo humano no todo es esfuerzo duro, sino que también hay tiempo para el culto al dios de turno, tiempo para festejar, danzar o hacer mil cosas. Es aquí, insisto, donde hay que fomentar estos tres conocimientos básicos.

Podría demostrar fácilmente que a un humano con cierto grado de madurez mental (aproximadamente desde los 10 años) es capaz de aprender a leer, escribir y las cuatro operaciones básicas en 400 horas (es decir, 100 días a razón de 4 horas diarias). En caso de no tener demasiado tiempo, en 400 días, a razón de 1 hora diaria, se podría enseñar a un individuo. Es decir, en algo más de 1 año, empleando sólo 1 hora al día, seríamos capaz de educar a todos los seres humanos del planeta. Obviamente, se requiere para ello las ganas del individuo. No se puede enseñar a quien no quiere aprender.

Si supieran entender los analfabetos y supieran valorar los que han sido alfabetizados lo que significan estos conocimientos básicos, no dejaríamos de tratar este problema como el auténtico problema mundial.

Saber leer y escribir permite al individuo entender y hacerse entender, avisar (fundamental para salvar vidas humanas), evitar engaños, pactar con más claridad tratos. Saber las cuatro operaciones básicas y la geometría básica es aún más interesante: evitar engaños económicos, pronosticar ganancias, medir áreas en terrenos, construir casas más seguras, evitar inundaciones, cuadrar medidas.

Es importante, en nuestras vidas cotidianas, aprender a aproximar. Por ejemplo, si queremos comprar una tabla que al calzarla en el suelo forme un ángulo de 45º con la pared, tendríamos que comprar una tabla que sea de longitud raíz de 2 veces la longitud de la distancia del calzo a la pared. Pero raíz de 2 es un número irracional, con infinitas cifras decimales y vale  1,41421356... ¿Iremos al carpintero a pedir una tabla, por ejemplo, raíz de 2 veces el lado? No tendría sentido. Sin embargo, si le pedimos una tabla 1,4 veces el lado, es fácil para el carpintero hacernos una tabla de 1,4 m de longitud, 2,8 metros, etc. El error cometido en este caso sería de algo más de 30 minutos de ángulo, inapreciable al ojo humano.

Lo mismo podemos decir de números como pi. Ya los griegos aproximaban el 3,141592... a 22/7 (esto es, 3.142857 periódico). El error es tan sólo del 0,04%.

En una sociedad tan tecnológicamente avanzada parece que no hay sitio para el error. Las máquinas realizan operaciones muy precisas. Pero hemos de desmitificar. A pesar de que un ingeniero se lleva muchos años de su vida para estudiar métodos matemáticos exactos, a la hora de la verdad el uso de las relaciones aproximadas siguen estando muy presentes en proyectos de incluso gran envergadura.

¿Qué son relaciones aproximadas? Son aquellas que se traducen en el uso nuevamente de las operaciones básicas. ¿Acaso no es esto lo que estamos diciendo continuamente? Tan importante es conocer bien estas operaciones.

Hasta aquí he hecho una defensa del uso de la aproximación, pero no deberíamos olvidar que si el ser humano ha avanzado en la ciencia y en la matemática no ha sido simplemente por capricho. Los métodos aproximados no eran correctos en ciertas aplicaciones. Esto normalmente ocurre cuando hablamos de números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, Aristarco de Samos al calcular la distancia de la Tierra al Sol midió un triángulo rectángulo cuyos ángulos medían aproximadamente 90º, 87º y 3º. Esto le proporcionaba a Aristarco que el sol estaba unas 20 veces más cerca de la Tierra de lo que realmente está. Eso es debido a que realmente los ángulos miden 90º, 89,85º y 0,15º, respectivamente. En una pequeña distancia, el error es inapreciable (alrededor del 0,5%), pero en distancias astronómicas, el error es fatal.

No es necesario, por tanto, motivar a todos a ser genios cuando con unas simples operaciones la gran mayoría de los seres humanos puede arreglárselas.

El azar como auténtico símbolo del mal

Pocas veces nos percatamos de la importancia de las cosas cotidianas. Ocurren y ya está. No nos sorprende apreciar a diario los efectos de la fuerza de la gravedad, por ejemplo, a pesar de lo extraordinario del fenómeno.

Algo así ocurre con la suerte. Constantemente nos quejamos de la mala suerte. Su nombre lo indica: mala suerte. Es decir, hay una suerte mala, dañina, que nos genera dolor. Por el contrario, existe una suerte que sería beneficiosa: la consideramos "buena suerte".

Esto es obvio y cotidiano, dirán. Entonces volvemos a lo dicho desde el principio: las cosas ocurren y ya está. La buena suerte ocurre; la mala suerte ocurre.

¿Qué es, entonces, la suerte? La suerte o azar es la aparición de cualquier fenómeno inesperado. La suerte es lo contrario a pronóstico, es decir, la seguridad de que aparezca un fenómeno. Existe toda una ciencia, la estadística, que se ocupa de calcular la facilidad o dificultad para que cierto fenómeno aparezca. La estadística no es más que la ciencia que trata de convertir la suerte en pronóstico. No nos ocuparemos aquí de analizar dicha ciencia. Lo que sí es interesante es entender que la estadística se ocupa de convertir la suerte en pronóstico, pero no se ocupa de estudiar los pronósticos. De esto se encargarán otras ciencias, como la física o la química, en la que unos fenómenos que se pueden predecir se analizarán para conocer qué los causan.

Esta es la concepción clásica e individual de la palabra "suerte". Hay buena y mala suerte. Por tanto, también puede existir suerte neutra (al menos desde un punto de vista global o general). Por ejemplo, una reunión de amigos que juegan al backgammon no puede considerar "mala suerte" o "buena suerte" el que un dado saque un 6 o un 3. Esto podríamos considerarlo realmente como "suerte neutra", es decir, aquella de la que no se espera que nos afecte a nuestra vida cotidiana.

Sin embargo, vamos a demostrar precisamente lo contrario en el caso social: no hay "suerte neutra". Tampoco, como se verá, para la sociedad occidental puede considerarse que exista "buena suerte". Para la sociedad occidental, toda la suerte es mala. Es decir, el concepto suerte viene ya con la connotación maligna.

Tratemos de entender esto: todas las políticas sociales van encaminadas a reducir el factor suerte, demonizándolo. La atención a discapacitados es un claro ejemplo de tratar de aminorar los efectos de la, en este caso,mala suerte. Las políticas a favor de las clases bajas tratan de aminorar los efectos de la "mala suerte". Las políticas a favor de la mujer tratan de aminorar los efectos de la "suerte neutra". Ser mujer u hombre es algo fortuito. No decidimos ser hombres o mujeres. Ni siquiera lo decidieron los padres. Ahora, con la fecundación in vitro, sí que se puede, pero no se podía hasta hace mucho. Así podríamos avanzar y dar ejemplos.

Todos dirán que esta idea de aminorar los efectos fortuitos ha sido una gran idea de la humanidad. Cierto. En verdad se equilibran ciertos desajustes que nadie tuvo la intención de que ocurrieran. Sin embargo... ¿qué ocurre con la "buena suerte"?

Ya hemos visto en otra ocasión que la entropía del universo tiende a aumentar. Eso significa que el desorden o caos tiende al aumento, o lo que es lo mismo, la probabilidad de que ocurran fenómenos "malos" tiende a aumentar con los siglos. Pero como diría Hawkings, ¿alguien se ha planteado en qué estado estamos del universo?¿Estamos en los inicios, en el final..? De ser así, podría ocurrir que todavía a día de hoy fuera más problable (a diferencia de lo que afirman las leyes de Murphy) que la tostada cayera por la cara no untada. En cualquier caso, bromas aparte, sabemos que localmente las entropías pueden disminuir, lo que en principio no debería preocuparnos, por mucho que aumentara la entropía global, ya que la local permanecería mejor.

Siguiendo con el tema social, ocurre que aquel que tiene algo de buena suerte queda demonizado por la sociedad occidental. La sociedad sólo reconoce la "mala suerte". "Nadie puede tener buena suerte cuando los demás tienen mala suerte, ya que eso es como hacer un pacto como el demonio", afirmarían. O sea, que si nos toca la lotería o polla, que sepan que el gobierno nos quitará "la buena suerte", al menos en gran parte.

Hasta aquí, habrá algunos (los que tienen mala suerte) que vean bien que a los que tienen buena suerte les quiten su suerte. ¿Pero y si esa "buena suerte" fuera ficticia? Como saben, son muy pocos los que tienen realmente "buena suerte" y muchos los que tienen las cosas por méritos propios? El trabajo y la constancia son la suerte más grande que hay. ¿Qué hace la sociedad con los constantes y trabajadores? ¡Los trata como a gente que ha tenido buena suerte! Es decir, en la sociedad occidental, los medios de comunicación y la gente en general culpa y demoniza al buen trabajador, tachándolo de suertudo.

Así, si un hombre es jefe de una mujer, es porque ella tiene mala suerte de haber nacido mujer y el Estado debe garantizar la ausencia de suerte. Sin embargo, lo contrario es política de igualdad, lo que significa que no ha existido suerte. Si alguno es rico, es que tuvo suerte. Pero si alguien se arruina, es que fue merecido. Sólo cuando uno es o, mejor dicho,  parece pobre, entonces, tiene mala suerte.

La moral occidental lucha constantemente por aminorar la suerte. Algo que el individuo lo considera mágico y al mismo tiempo prometedor y que, de manera general, suele ser favorable (para ser sinceros, a todos nos va mejor de que realmente nos quejamos), la sociedad lo recrimina.

Nunca creeré en un sistema donde se fomente la debilidad. La búsqueda de la ausencia de suerte es algo malo en el fondo. Se trata, en definitiva, de la búsqueda de la trivialidad, de la laxitud, de la ausencia de vida, de fracaso y ¿por qué no? de éxitos. Cada vez más, en los regímenes democráticos, se busca la fórmula del reproche al luchador, tildándolo de fortuito. Y cada vez más se llegará a un momento en el que nada quede al azar.

Estamos perdidos. No hay esperanza.

P.D. A principios del siglo XIX, el matemático Laplace, padre de la estadística, afirmaba que si pudiéramos conocer todas las condiciones en todo momento y en todo lugar (cosa que se conseguiría con el avance de las ciencias) seríamos realmente capaces de pronosticar cualquier fenómeno, incluida la voluntad humana. O sea, que seríamos capaces de conocer, años vista, si un hombre nacería, si sería un asesino, si tendría hijos, etc. En otras palabras, Laplace demostró que el libre albedrío no existía y todo estaba determinado desde el principio de los tiempos. Tampoco existiría por consiguiente la libertad, ya que nada es aleatorio.

Durante más de 100 años esta teoría imperó y por tanto, incluso la mismísima Biblia, cuando Dios otorga al hombre la libertad, quedaba en entredicho. Sin embargo, en 1927, Werner Heisenberg demostró el principio de incertidumbre, según el cual, es imposible conocer con total exactitud la posición y la velocidad de una partícula. La materia está constituida por partículas, lo que impediría de cualquier forma poder conocer en todo momento y lugar las condiciones de las partículas. Quedaba demostrado que la acción de la suerte, como decían los griegos, es inevitable.

Hoy es tu día de suerte

La suerte es simplemente la casualidad, la probabilidad de que ocurra un fenómeno. Según sea favorable o no, la llamamos buena o mala suerte.

El control de la suerte (también llamado azar) ha sido desde el principio de los tiempos motivo de estudio. Hoy sabemos que el azar no es más que la expresión de un fenómeno con cierto grado (habitualmente pequeño) de probabilidad. Este grado es medible, aunque no siempre de manera fácil. Si podemos medir la probabilidad de que ocurra un fenómeno, entonces podemos realizar predicciones o incluso controlar un fenómeno incontrolable como es la mismísima suerte.

Supongamos el siguiente caso: arrojamos 1 moneda al aire. ¿Es más probable que salga cara o que salga cruz? Podemos intuir fácilmente que hay un 50% de probabilidad de que salga cualquiera de ellas. ¿Significa eso que siempre que salga cara en una tirada en la siguiente saldrá cruz? Obviamente, nuestra experiencia nos lo dice, la respuesta es NO. ¿De qué sirve entonces calcular probabilidades si no nos permite pronosticar con exactitud lo que va a ocurrir? Porque podemos predecir con bastante exactitud ciertos fenómenos a largo y corto plazo. Por ejemplo, saber que existe un 50% de posibilidades de que salga cara o cruz no nos va a indicar cuál será el lado que salga la próxima vez, pero sí nos sirve para saber que será bastante complicado que salga 3 caras seguidas y bastante más que salgan 6 y prácticamente imposible que salgan 10 caras seguidas. Esto es un ejemplo práctico del interés para conocer a largo plazo el comportamiento de ciertos parámetros o actividades.

Otro caso concreto es el uso en juegos de azar. ¿Sabían cuál es la posibilidad de acertar la lotería (acertar 6 números de 49? Es 1 posibilidad entre 13 983 816. Si jugamos una apuesta, y esta vale, por ejemplo, 1 $, podríamos ser millonarios con una probabilidad de 1 entre más de 10 millones. Normalmente no sólo se juega a acertar 6, sino que la casa de loterías admite premios de 5, 4 y hasta 3 aciertos. En estos casos, la posibilidad es, respectivamente, 1 entre 55941, 1 entre 1042 (0.1%) y 1 entre 57 (1,77%). Este cálculo está hecho para una apuesta de 1 $. Cabría preguntarse cuántas apuestas serían necesarias para ganar la lotería. Esta respuesta es, obviamente fácil. Casi 14 millones de $, para ganar un premio que consiste en un porcentaje de lo recaudado (habitualmente, el 55%). O sea, que el negocio no sería rentable, pues serían necesarios 14 millones de euros para ganar con total seguridad alrededor de 8 millones.

Lo interesante sería, en cierto modo, maximizar el beneficio. Resulta que si en lugar de 1 apuesta realizamos 6, por ejemplo, aumentamos notablemente nuestras posibilidades, a 1 entre algo más de 2 millones. Si gastamos 1000$ en lotería, nuestras posibilidades aumentan hasta 1 entre 13 983. Eso sí, nuestras posibilidades de ganar 5 números serían mucho más elevadas.

Sería cuestión de hacernos la siguiente reflexión. Tentemos a la suerte. Vendamos nuestras casas y cojamos nuestros ahorros del banco. Juguemos a todo o nada. ¿Como de inteligente es esa jugada? Analicemos, por ejemplo, el caso de disponer de 150 000 $. Entonces, nuestras posibilidades serían de 1 entre 87. Y prácticamente tendríamos asegurado un premio de 5, que suele ser de menos de 60 000 $ (con lo cual abríamos perdido dinero).

Conclusión: jugar a la lotería con escaso dinero no es inteligente (porque nuestras posibilidades son ridículas y casi imposibles). Jugar a la lotería con mucho dinero es estúpido.